Números Inteiros
"Por que menos com menos dá mais?"
Esta é uma das peguntas recorrentes de alunos no estudo da matemática.
Aproveitamos este espaço para responder a este questionamento.
Inicialmente, considere como verdadeiras as seguintes afirmativas, denominadas axiomas,
por dispensar demonstrações:
Se x, y e z são números reais, então:
Axioma nº 1: A igualdade é reflexiva, isto é, todo valor é igual a si mesmo.
x = x
Axioma nº 2: Se a dois valores iguais, somarmos um terceiro valor,
os resultados permanecem iguais:
x = y ==> x + z = y + z
Axioma nº 3: A operação da adição é associativa.
x + (y + z) = (x + y) + z
Axioma nº 4: Todo número x tem um simétrico que é denotado por (-x),
de modo que a soma de ambos é igual a zero.
x + (-x) = 0
Axioma nº 5: O número zero é o elemento neutro da adição.
x + 0 = x
Axioma nº 6: A operação de adição é comutativa, assim a ordem das parcelas
não altera a soma.
x + y = y + x
Axioma nº 7: A igualdade é simétrica.
x = y ==> y = x
Axioma nº 8: Vale a lei distribuitiva:
x (y + z) = xy + xz
(y + z) x = yx + zx
Os axiomas acima possibilitam algumas consequências:
1ª Consequência:
x + y = x ==> y = 0
Demonstração:
(-x) = (-x) (1º axioma)
(-x) + (x+y) = (-x) + x (2º axioma)
[(-x) + x)] + y = (-x) + x (3º axioma)
0 + y = 0 (4º axioma)
Pelo 5º axioma:
y = 0 c.q.d
2ª Consequência:
0.x = 0
Demonstração:
0.x = 0.x (1º axioma)
0.x = ( 0 + 0) x (5º axioma)
0.x = 0.x + 0.x (8º axioma)
0.x + 0.x = 0.x (7º axioma)
Pela 2ª consequência:
0.x = 0 c.q.d. (pode-se demonstrar também que x.0 = 0)
3ª Consequência: ( "mais com menos dá menos.")
x.(-y)= -x.y
Demonstração:
x.(-y) + x.y = x [(-y) + y] (8º axioma)
x(-y) + x.y = x.0 (4º axioma)
x(-y) + x.y = 0 (2ª consequência)
Pelo 4º axioma:
x.(-y) = - x.y c.q.d. (pode-se demonstrar também que (-x).y = -x.y)
4ª consequência:
x = -(-x)
Demonstração:
x + (-x) = 0 (4º axioma)
(-x) + x = 0 (6º axioma)
Pelo fato de a soma ser igual a zero, então x é o simétrico de (-x), logo:
x = -(-x) c.q.d.
Então, finalmente, demonstraremos porque "menos com menos dá mais";
5ª Consequência:
(-x).(-y) = x.y
Demonstração:
(-x).(-y) = (-x).(-y) ( 1º axioma)
(-x).(-y) = -[x.(-y)] (3ª conseqência)
(-x).(-y) = -[-(x.y)] (3ª consequência)
Pela 4ª consequência:
(-x).(-y) = x.y c.q.d.
Demonstramos, dessa forma, porque "menos com menos dá mais".
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