História da Trigonometria

Por Robison Sá

Falar de trigonometria é lidar com um tabu histórico que compreende o ensino deste ramo da matemática tão frequentemente associado à ideia de dificuldade e incompreensão. Porém, antes que o interessado no tema desista de compreendê-lo, antes mesmo de esgotar as ferramentas possíveis de aprendizagem, convido-os a viajar pelos fatos históricos na busca de justificativas para a existência dessa ferramenta matemática tão utilizada por outras ciências e áreas do conhecimento humano.

Este trabalho é apenas uma introdução à história da trigonometria, portanto tem o seu estudo em caráter de resumo. Isso poderá levá-los a compreensão dos fatos históricos através de uma leitura rápida, sem cansaço. Buscarei também o uso de uma linguagem descomplicada e acessível ao leigo que visita, pela primeira vez, os terrenos da história da trigonometria.

A história

Não se pode precisar a origem da trigonometria. Como toda área da matemática, a trigonometria surgiu por diversos estudiosos, principalmente através do estudo da astronomia, agrimensura e navegação. Povos como os egípcios e os babilônios deram importantes contribuições para a descoberta e aperfeiçoamento desse ramo matemático tão importante à época, bem como em dias atuais.

                                                                                                           Papiro de Rhind

No Papiro Rhind, documento egípcio que data de aproximadamente três mil anos, foram encontrados problemas relacionados à cotangente. Na tábua cuneiforme Plimpton 322, tábua babilônia com texto escrito entre 1900 e 1600 a.C., foram localizados problemas envolvendo secantes.

Euclides de Alexandria, em sua obra mundialmente conhecida, Os Elementos, apresentou alguns conceitos trigonométricos, porém representados através de formas geométricas. Mas foi Hiparco de Nicéia, na segunda metade do século II a.C., quem recebeu o título de Pai da Trigonometria, isso porque apresentou um tratado com cerca de 12 volumes nos quais tratava da trigonometria com a autoridade de quem conhecia profundamente o assunto. Naquele mesmo período, Hiparco apresentou ao mundo uma tábua de cordas, sendo ele o responsável pela elaboração da primeira tabela trigonométrica que se tem registro. Ainda naquela época, Ptolomeu apresentou sua tábua de cordas contendo o cálculo do seno dos ângulos de 0º a 90º, ângulos que seriam utilizados nos estudos astronômicos em que ele estava engajado. Hiparco e Ptolomeu deram imensas contribuições para o desenvolvimento da Matemática e da Astronomia.

                                                                                                             Ptolomeu

Hiparco, ao lado de Ptolomeu, é, sem dúvida, um dos nomes mais ilustres dos estudos antigos da trigonometria. É atribuída a ele, também, a divisão do círculo em 360º. Advindos do estudo da Astronomia surgiram os conceitos de seno e cosseno.  A tangente supostamente surgiu da necessidade de se calcular alturas e/ou distâncias.

A obra matemática mais influente da antiguidade foi escrita pelo astrônomo e matemático Ptolomeu de Alexandria, a Syntaxis Mathematica, obra de 13 livros relacionados à trigonometria. Ainda em terreno grego, Menelau de Alexandria escreveu três volumes destinados ao estudo da trigonometria, sendo o primeiro atido à ideia de triângulos esféricos, o segundo é uma aplicação da geometria esférica a astronomia e o terceiro trata do Teorema de Menelau.

Últimas considerações

Como afirmei nas linhas iniciais, este trabalho é um resumo histórico sobre a trigonometria, sendo uma ferramenta de conhecimento prévio do tema e convite para um estudo mais aguçado em bibliografias específicas. Se o leitor buscou conhecimentos básicos sobre o tema, creio que tenha encontrado. Conhecer os motivos que levaram pessoas a se engajarem na busca pelo conhecimento minucioso de certa área do saber nos conduz a compreensão do que buscamos ao estudar aquela disciplina, aquele conteúdo, aquela ciência. Isso, sem dúvida, nos tornará aptos ao aprendizado, bem como nos proporcionará momentos de descontração e viagem no tempo, ao conhecimento de povos, costumes, culturas. Com certeza esse é um excelente motivo para estudarmos a história daquilo que hoje apenas nos é mostrado como um saber pronto, acabado.

“Passeando pela história encontraremos a justificativa para o nosso presente

 e estimaremos o nosso futuro”.

(Robison Sá)

MATEMÁTICA

A matemática (palavra que vem do grego e significa "apreciador do conhecimento") é um ciência que investiga as relações entre entidades definidas lógica e abstratamente. Essa ciência estuda espaços, estruturas, medidas, quantidades e variações.

A matemática, que teve o seu início através de medições, contagens e cálculo, desenvolveu-se principalmente no Egito, na Grécia, na Mesopotâmia, no Oriente Médio e na Índia, porém foi durante o Renascimento que a matemática começou a se desenvolver mais rapidamente, levando assim a novas descobertas. Descobertas que continuam até os dias de hoje.

Se em algum dia você já se perguntou "por que devo aprender matemática?", saiba que um dos fatos mais interessantes da matemática é de que ela serve como ferramenta em áreas como engenharia, medicina, ciências sociais, física e muitas outras. Por isso, podemos dizer que a matemática está mais presente no nosso dia a dia do que imaginamos. O matemático rússo Lobachevsky (1792-1856) retra isso muito bem em uma de suas frases:

Não há nenhum ramo da matemática, por mais abstrato que seja, que não possa vir a ser aplicado, mais cedo ou mais tarde, aos fenômenos do mundo real.

Galileo Galilei (1564–1642), muito antes de Lobachevsky, afirmou:

O universo não pode ser lido enquanto não tivermos aprendido sua linguagem e nos familiarizado com os caracteres nos quais é escrito. Ele é escrito em linguagem matemática, e as letras são triângulos, círculos e outras figuras geométricas, sem as quais é humanamente impossível compreender uma só palavra. Sem elas, estaremos vagando num labirinto escuro.

Fonte: www.rachacuca.com.br

HISTÓRIA DOS NÚMEROS

A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.

A LINGUAGEM DOS NÚMEROS

Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.

O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

O corvo assassinado

Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.

Limitações vêm de longe

Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.

Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).

Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.

Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.

O número sem contagem

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.

A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.

A idéia de correspondência

A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...

A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto

Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias:

Nº	Grego arcaico	Latim	Alemão	Inglês	Francês	Russo
1	en	unus	eins	one	un	odyn
2	duo	duo	zwei	two	deux	dva
3	tri	tres	drei	three	trois	tri
4	tetra	quatuor	vier	four	quatre	chetyre
5	pente	quinque	fünf	five	cinq	piat
6	hex	sex	sechs	six	six	chest
7	hepta	septem	sieben	seven	sept	sem
8	octo	octo	acht	eight	huit	vosem
9	ennea	novem	neun	nine	neuf	deviat
10	deca	decem	zehn	ten	dix	desiat
100	hecaton	centum	hundert	hundred	cent	sto
1000	xilia	mille	tausend	thousand	mille	tysiatsa

Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural

FRASES FAMOSAS ENVOLVENDO A MATEMÁTICA

Ao longo do tempo muitos homens conseguiram atingir o êxtase da criação. A estes homens dá-se o nome de MATEMÁTICOS.

A geometria é uma ciência de todas as espécies possíveis de espaços. (Kant)

A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. (Descartes)

O espaço é o objeto que o geômetra deve estudar. (Poincaré)

A Matemática é como um moinho de café que mói admiravelmente o que se lhe dá para moer, mas não devolve outra coisa senão o que se lhe deu. (Faraday)

O céu deve ser necessariamente esférico, pois a esfera, sendo gerada pela rotação do círculo, é, de todos os corpos, o mais perfeito. (Aristóteles)

Os números governam o mundo. (Platão)

A noção de infinito, de que é preciso se fazer um mistério em Matemática, resume-se no seguinte princípio: depois de cada número inteiro existe sempre um outro. (J. Tannery)

Sem os recursos da Matemática não nos seria possível compreender muitas passagens da Santa Escritura. (Santo Agostinho)

A Matemática possui uma força maravilhosa capaz de nos fazer compreender muitos mistérios de nossa fé. (SÃO JERÔNIMO)

Sem a Matemática, não poderia haver Astronomia; sem os recursos maravilhosos da Astronomia, seria completamente impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade. (Amoroso Costa)

A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida. (Jacques Bernoulli)

Entre dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, aquele que sabe geometria é superior ao outro e adquire um vigor especial. (Pascal)

A Matemática é a honra do espírito humano. (Leibniz)

Nas questões matemáticas não se compreende a incerteza nem a dúvida, assim como tampouco se podem estabelecer distinções entre verdades médias e verdades de grau superior. (Hilbert)

Os sinais + e - modificam a quantidade diante da qual são colocados como o adjetivo modifica o substantivo. (Cauchy)

Os números são as regras dos seres e a Matemática é o Regulamento do Mundo. (F. Gomes Teixeira)

Zero, esse nada que é tudo. (Laisant)

O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos. (Galileu)

Uma verdade matemática não é simples nem complicada por si mesma. É uma verdade. (Emile Lemoine)

O grande arquiteto do Universo começa a parecer-nos um puro matemático. (James Jeans)

Deus é o Geômetra Onipotente para quem o mundo é imenso problema matemático. (Leibniz)

Os conceitos mais simples são os mais abstratos. (Ostwald)

A escada da Sabedoria tem os degraus feitos de números. (Blavatsky)

Na Matemática, se a experiência não intervém depois que se deu o primeiro passo, é porque não é mais preciso. (Pontes de Miranda)

Na Matemática, para saborear com prazer o fruto é preciso conhecer bem as suas raízes.

E A VIAGEM CONTINUA!

Deixamos a primeira estação da viagem, aqui representada pela 1ª avaliação bimestral, em direção à segunda parada nesta viagem cujo destino é chegarmos ao local chamado "APROVAÇÃO". É momento de analisar os resultados e refletir sobre nossas práticas e procedimentos. Para aqueles que alcançaram boas e excelentes notas, nossos parabéns! Temos alunos assim, em todas as nossas turmas, com destaque para o 3º ano data tarde (turma 301), 2º da manhã(Turma 204).

Para aqueles que não alcançaram o êxito desejado, orientamos aplicar-se ainda mais aos estudos observando entre outros pontos os seguintes:

a)   Evite faltar às aulas, e se tiver que faltar, procure, o mais rápido possível, conhecer o assunto apresentado pelo professor na sua ausência. Pode acontecer que em alguma dessas suas faltas, tenham sido passadas atividades valendo ponto, e então você será prejudicado duplamente: Perderá as explicações e os pontos da avaliação.

b)   Evite chegar atrasado às aulas, assim você não perde explicações sobre o assunto e não interromperá a aula fazendo perguntas desnecessárias;

c)  Evite conversar enquanto o professor está explicando a matéria. Se possível, evite até mesmo copiar assunto do quadro enquanto o professor explica a matéria, pois a explicação é de fundamental importância para você entender o assunto;

d)    Faça todas as tarefas que o professor pedir, independentemente de valer ou não ponto. Tenha em mente que o seu conhecimento vale mais que qualquer ponto.

e)  Participe das atividades realizadas em equipe na sala de aula. Não fique apenas “olhando” os outros fazerem. Envolva-se, pergunte, contribua para a resolução das questões propostas;

f)    Faça um plano de estudo para casa: Reserve um horário e local para estudar em casa. Não desperdice todo o seu tempo em distrações.

g)   Em casa, leia e releia os assuntos tratados na sala de aula. Ainda que  o professor não tenha indicado atividades para casa, faça as atividades propostas no Livro Texto sobre o assunto estudado.

h)   Se você é do 1º ano ou do 3º ano, inscreva-se no projeto “APRENDER MAIS”. É uma excelente oportunidade para recuperar conteúdos que podem contribuir para um melhor entendimento dos assuntos em estudo nas disciplinas de Língua Portuguesa e Matemática.

i)   Participe do projeto “TERCEIRÃO” nas manhãs de sábado, das 8:00 às 12:00 h, no LND. São aulas preparatórias para o ENEM, com os próprios professores da Escola. 

Assim fazendo, você certamente alcançará melhores resultados!

Lembre-se: Não há vitória sem lutas! 

Sucesso para todos!

Boas Provas!

Chegamos ao período de culminância de nossa primeira Avaliação Bimestral no LND. É um tempo de tensão, nervosismo e expectativa, pois, afinal de contas, o sistema educacional exige que sejam aplicadas notas aos desempenhos dos alunos de forma a definir, no final do período letivo, um perfil indicativo de reprovação ou aprovação. Portanto, a você, aluno, recomendo aplicar-se às anotações realizadas em sala de aula, uma boa revisão nos exercícios, resolução de problemas do livro-texto, mas, sobretudo, concentração nos seus objetivos. Leias as questões das provas com atenção, não se precipite nas respostas. Lembre-se que bons resultados nessa avaliação inicial proporcionarão a confiança necessária para você seguir avante com a certeza de que dias melhores virão. Assim, nos próximos dias, evite desviar sua atenção com fatos que possam vir a impedir que alcance um bom desempenho. Valorize seus esforços, sabendo que não será em vão este tempo aplicado aos estudos. Em um breve, então, você verá que valeu apena tão grande dedicação! Bons estudos e excelentes notas!

NOVOS COMPANHEIROS!

Ao alunos das turmas da EEEFM LUIZ NUNES DIREITO:

Manhã: 104, 105, 106 e 204 (Ensino Médio)

Tarde: 301(Ensino Médio)

Noite: 103/104 (EJA-1ª Etapa) e 301/302(Ensino Médio)

Reiniciamos nossas atividades no Luiz Nunes Direito, em 2017, desejando a todos nossos companheiros de classe, uma feliz jornada e que possamos compartilhar experiências, aprendendo juntos, além de conceitos matemáticos, as melhores práticas de convivência e fraternidade. Façamos da escola um espaço de novas descobertas e ponto de partida para novos projetos. Abraços e felicidades a todos!