UM POUCO DE HISTÓRIA .....

Os textos matemáticos (em escrita cuneiforme) mais antigos foram encontrados na Mesopotâmia. Na China, é inventado o ábaco, primeiro instrumento mecânico para calcular. São criadas as tabuadas e o cálculo de área é desenvolvido. Estas coisas aconteceram entre 3000 e 2500 a.C.

Aproximadamente em 1600 a.C., é escrito o papiro de Rhind, principal texto matemático dos egípcios; este contém regras para o cálculo de adições e subtrações de frações, equações simples de 1º grau, diversos problemas de aritmética, medições de superfícies e volumes.
De 550 até 450 a.C., é estabelecida a era pitagórica, caracterizada por grandes conhecimentos na geometria elementar, como o teorema de Pitágoras. Os pitagóricos foram os primeiros a analisar a noção de número e estabelecer as relações de correspondência entre a aritmética e a geometria. Definiram os números primos, algumas progressões e a teoria das proporções.
O matemático grego Erastótenes idealizou um método com o qual pôde medir a circunferência da Terra, entre os anos de 276 e 194 a.C.
Entre os anos 300 e 600 o povo hindu cria o sistema numérico decimal que usamos hoje.
No ano 1100, Omar Khayyam desenvolve um método para desenhar um segmento cuja longitude fosse a raiz real positiva de um polinômio cúbico dado. Em 1525, o matemático alemão emprega o atual símbolo da raiz quadrada. Em 1545, Gerolamo Cardano publica o método geral para a resolução de equações do 3º grau. Em 1550, Ferrari torna público o método de resolver equações do 4º grau. Em 1591, François Viète aplica, pela primeira vez, a álgebra à geometria. Em 1614, os logaritmos são inventados por Napier. Em 1619, Descartes cria a geometria analítica.
No ano 1642, Blaise Pascal constrói a primeira maquina de calcular, com a qual podia-se somar ou subtrair com números de até seis dígitos. Em 1684, é criado, ao mesmo tempo, por Newton e Leibniz o cálculo infinitesimal. Em 1746, D’Alembert enuncia e demonstra parcialmente que qualquer polinômio de grau n tem n raízes reais.
No período compreendido entre o ano 1761 e 1895, muita coisa aconteceu. Johann Lambert prova que o número PI (π) é irracional (1761). Leonard Euler, matemático suíço, simboliza a raiz quadrada de -1 com a letra i (de imaginário) (1777). O matemático italiano Paolo Ruffini enuncia e demonstra parcialmente a impossibilidade de resolver equações de 5º grau (1798). Laplace publicou em Paris a Teoria Analítica das Probabilidades, onde faz um desenvolvimento rigoroso da teoria das probabilidades com aplicação a problemas demográficos, jurídicos e explicando diversos fatos astronômicos (1812). Bernhard Bolzano cria o teorema que leva seu nome (1817). O matemático russo Georg Cantor cria a teoria dos conjuntos (entre 1872 e 1895).
Em 1904, o matemático sueco Niels F. Helge Von Koch constrói a curva que leva seu nome. As medalhas Fields são criadas para premiar os matemáticos que se destacam (1924). Em 1975, Mitchell Feigenbaum descobre um modelo matemático que descreve a transição da ordem ao caos. Em 1977, os matemáticos K. Appel e W. Haken resolvem o histórico teorema das quatro cores com a ajuda de um computador. 
(Por Thais Pacievitch do site https://www.infoescola.com/matematica/historia-da-matematica/. Acesso em 8/4/2018)

CRITÉRIOS DE DIBISIBILIDADE

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

• Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

• Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

• Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

• Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. 

• Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

• Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.

• Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

• Divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

• Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.

Exemplos:
1) 87549
    Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
    Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
    Si-Sp = 22-11 = 11
    Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

2) 439087
    Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
    Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
    Si-Sp = 10-21
    Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
    Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. 

• Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

• Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.

Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

• Divisibilidade por 25

Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.

Exemplos:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

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Como é que isso surgiu? Como é que aquilo surgiu? Vez ou outra nos vemos questionando sobre a origem das coisas. Com a Matemática não é diferente. Há um fascínio na história e ela é reveladora em descrever como a matemática foi evoluindo e sendo pensada nos diversos cantos do mundo; principalmente numa época em que a comunicação a distância era precária e o mundo não se via mundo como hoje.

"Enquanto os conjuntos constituem um meio auxiliar, os números são um dos dois objetos principais de que se ocupa a Matemática. O outro objeto é o espaço, juntamente com as figuras geométricas nele contidas. Os números são objetos abstratos que foram desenvolvidos pelo homem para servir como modelos que permitem contar e medir e, portanto avaliar as diferentes quantidades de uma grandeza."

Há um pequeno ensaio de um mini manual de matemática sobre a invenção do número e ainda outras sugestões de leituras que podem ser utilizadas no ensino de matemática. Destaque para o item [3], livro de Oscar Guelli, das sugestões.

Como foi inventado o número?

A invenção do número não aconteceu de repente nem foi uma única pessoa responsável por ela. Na verdade, o número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e animais.

Durante a Pré-História, os homens utilizavam pedras, nós de cordas e os próprios dedos para contar.

Foi assim, contanto objetos com outros objetos, que a humanidade começou a formar o conceito de número. Para o homem primitivo, o número cinco, por exemplo, estaria sempre ligado a algo concreto: cinco dedos, cinco vasos etc.

Com os avanços que marcaram o fim da Pré-História, a quantidade de objetos de uma coleção passou a ser representada por desenhos (símbolos). Eles foram criados por estudiosos do Antigo Egito para realizar cálculos rápidos e precisos. Esse fato foi fundamental para o desenvolvimento da Matemática.

Depois dos egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração, mas somente por volta do século III a.C. que começou a se formar um sistema numérico mais prático e eficiente que todos os outros já criados até então: o sistema de numeração romano, em que eram utilizadas as letras do alfabeto para representar os números. Esse sistema foi adotado por muitas nações.

Os hindus tinham os seus próprios métodos de cálculos, que eram realizados por meio de apenas nove sinais.

A referência a nove, e não a dez símbolos, significa que o passo mais importante dos hindus para formar seu sistema de numeração – a invenção do zero – ainda não havia chegado ao Ocidente.

Ao longo dos anos, os símbolos hindus foram sendo alterados e levados a toda a Europa por meio dos árabes. Com o livro de Al-Khowarizmi, o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos, os símbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ficaram conhecidos no mundo todo como a notação de Al-Khowarizmi e hoje como algarismos indo-arábicos.

Fonte: http://www.ticsnamatematica.com/2014/08/historia-matematica.html

QUE IMPORTÂNCIA TÊM OS NÚMEROS IMAGINÁRIOS NA NOSSA VIDA?

Apesar de se provar a existência dos números complexos, eles continuam a ser estranhos para nós, pois têm menos relação com o mundo real que os outros números já nossos conhecidos. Um número imaginário não serve para medir a quantidade de água num copo nem para contar o número de dedos que temos!

No entanto, existem algumas medidas no nosso mundo onde os números imaginários são medidores perfeitos. Um campo eletromagnético é um exemplo: tem uma componente eléctrica e outra magnética e por isso, é preciso um par de números reais para  descreve-lo. Este par pode ser visto como um número complexo e encontramos, assim, uma aplicação direta na Física, para a estranha regra da multiplicação de números complexos.

Existem poucas aplicações diretas dos números complexos no dia-a-dia. No entanto, há muitas aplicações indiretas. Muitas propriedades dos números reais só se tornaram conhecidas quando estes foram vistos como parte do Conjunto dos Números Complexos.

É como tentar perceber uma sombra. 

Uma sombra pertence a um mundo a duas dimensões. Portanto, só lhe é aplicável conceitos que utilizem duas dimensões.

No entanto, pensarmos no objeto de três dimensões que a provoca  poderá ajudar-nos a perceber certas propriedades do mundo a duas dimensões, apesar de não haver aplicação direta de um mundo no outro.

Da mesma forma, mesmos não existindo aplicação direta entre o mundo real e os números complexos, estes poderão ajudar-nos a compreender muita coisa do nosso mundo.

A próxima analogia ajudará a perceber melhor.

Consideremos a População A com 236 pessoas, das quais 48 são crianças e a População B com 123 crianças em 1234 pessoas.

Efetivamente, 48/236 (aprox. 0,2) é maior que 123/1234 (aprox.0,1). Portanto, a Pop. A é mais nova que a Pop. B.

Neste exemplo são usadas fracções, números não inteiros, num problema onde não têm significado físico. Não podemos medir populações com fracções; não podemos ter meia pessoa, por exemplo! Os números que têm ligação direta com esta questão são os naturais.

As fracções, neste contexto, são tão estranhas como o são os complexos na maioria das medições do mundo real. No entanto, o seu uso servir-nos para melhor entender uma situação do mundo real.

Da mesma forma, o uso dos complexos ajuda-nos a compreender vários acontecimentos que, diretamente, só se relacionam com os números reais.

Por exemplo, em Engenharia, é usual ter de se resolver equações da forma   y'' + by' + cy = 0, para a função desconhecida y.

Uma forma de resolver passa por achar as raízes do polinómio, em r, r² + br + c = 0. Mas, sucede diversas vezes não conseguirmos achar raízes reais e só encontramos complexas. O que se faz é achar todas as raízes no conjunto dos números complexos e depois considerarmos apenas aquelas que, afinal, são reais.

No início e no fim só consideramos reais, mas pelo meio os complexos foram precisos.

Uma vez que este tipo de equações (chamadas Equações Diferenciais) surge constantemente em problemas que representam o mundo real, por exemplo,  em Engenharia, podemos afirmar que os números complexos têm utilidade na nossa vida.

Fonte: http://webpages.fc.ul.pt/~ommartins/seminario/euler/importancia.htm

SÍMBOLOS E NOTAÇÕES MATEMÁTICAS

           Jacir J. Venturi

Em tempos do Biênio da Matemática no Brasil, vivenciamos importantes eventos relacionados à essa ciência – como a Olimpíada da Matemática – e advirá, em 2018, o maior congresso mundial da área, a ser sediado no Rio de Janeiro com mais de 6.000 participantes.

Nesse espírito de divulgação, incentivo e promoção à nível nacional, oportuno é rememorarmos alguns aspectos históricos desta que já se definiu como a “rainha e a serva de todas as ciências”. E os apanágios de sua majestade são o rigor, a lógica, a harmonia e sua linguagem precisa, universal e sincopada.

Sabemos que os gregos antigos promoveram um grande desenvolvimento à Geometria Plana e Espacial, mas não dispunham de uma notação algébrica ou de simbologia adequadas.

Até o século XVI, toda a expressão matemática se fazia de uma forma excessivamente “verbal ou retórica”. Por exemplo, em 1591, Viète para representar a equação quadrática 5A² + 9A - 5 = 0, escrevia em bom latim: 5 in A quad. et 9 in A planu minus 5 aequatur 0. (5 em A quadrado e 9 em A plano menos 5 é igual a zero).

Além da prolixidade de comunicação entre os matemáticos, havia outras dificuldades, pois utilizavam-se notações diferentes para indicar as mesmas coisas.

 O maior responsável por uma notação matemática mais consistente e utilizada até hoje foi Leonhard Euler (1707-1783).  

 Recordemos as principais: f(x) (para indicar função de x);  (somatória, provém da letra grega sigma, que corresponde ao nosso S); i (unidade imaginária, igual a ); e (base do logaritmo neperiano e igual a 2,7182...); log x (para indicar o logaritmo decimal de x); as letras minúsculas a, b, c para indicarem os lados de um triângulo e as letras maiúsculas A, B, C para os ângulos opostos. A letra  = 3,1415..., que havia sido utilizada por William Jones em 1706, teve o uso consagrado por Euler.

 Este nasceu em Basileia, Suíça, e recebeu educação bastante eclética: Matemática, Medicina, Teologia, Física, Astronomia e Línguas Ocidentais e Orientais. Foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel.

Extremamente profícuo, insuperável em produção matemática, Euler escrevia uma média de 800 páginas por ano e publicou mais de 500 livros e artigos. Em plena atividade intelectual, morreu aos 76 anos, sendo que os últimos 17 anos passou em total cegueira (consequência de catarata). Mesmo assim continuou ditando aos seus filhos (eram 13).

Euler se ocupou com praticamente todos os ramos então conhecidos da Matemática, a ponto de merecer do francês François Arago o seguinte comentário: “Euler calculava sem qualquer esforço aparente como os homens respiram e as águias se sustentam no ar.” 

Em 1748, publica sua principal obra com o título latino: Introductio in Analysis infinitorum (Introdução à Análise Infinita), considerada um dos marcos mais importantes da análise como disciplina sistematizada. Destarte, Euler recebeu a alcunha de “Análise Encarnada”. 

A implementação dos símbolos mais adequados foi acontecendo naturalmente ao longo das décadas ou dos séculos, sob a égide da praticidade e do pragmatismo. É evidente, porém, que pouco se pode afirmar com precisão nesta evolução. Alguns exemplos:

SÍMBOLO DE +: O primeiro a empregar o símbolo de + para a adição em expressões aritméticas e algébricas foi o holandês V. Hoecke em 1514. Há historiadores, porém, que creditam tal mérito a Stifel (1486-1567).

Uma explicação razoável é que até então, a adição de dois números, por exemplo 3 + 2, era representada por 3 et 2. Com o passar dos anos, a conjunção latina et (que significa e) foi sincopada para “t”, donde se originou o sinal de +.

SÍMBOLO DE ― : Pode ter sido fruto da evolução abaixo exposta, conforme se observa nos escritos dos matemáticos italianos da Renascença:

1.º) 5 minus 2 = 3 (minus em latim significa menos)

2.º) 5 m 2 = 3 (m é abreviatura de minus)

3.º) 5 - 2 = 3 (sincopou-se o m da notação m )

SÍMBOLOS DA MULTIPLICAÇÃO: O símbolo de x em a x b para indicar a multiplicação foi proposto pelo inglês William Oughthed (1574-1660). É provável que seja originário de uma alteração do símbolo de +. O ponto em a . b foi introduzido por Leibniz (1646-1716).

SÍMBOLOS DA DIVISÃO: Fibonacci (séc. XII) emprega a notação:  ou a/b, já conhecidas dos árabes.

A notação a : b é devida a Leibniz em 1648. Já o inglês J. H. Rahn (1622-1676) emprega a notação a ÷ b.

SÍMBOLO : É a inicial da palavra grega , que significa circunferência. Sabemos que  = 3,1415926535... é um número irracional e é a razão entre o comprimento da circunferência pelo seu diâmetro.

O aparecimento do símbolo  só aconteceu em 1706 e deve-se a Willian Jones, um amigo de Newton. No entanto, a consagração do uso do  deve-se ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783).

Em 1873, como muito se discutia sobre a irracionalidade do , o inglês W. Shanks calculou-o com 707 casas decimais. Os cálculos eram laboriosos e feitos manualmente, e Shanks levou cerca de 5 anos para efetuá-los.

SÍMBOLOS DE (RAIZ): Apareceu pela primeira vez na obra Die Coss (1525), do matemático alemão C. Rudolff. Este sugeria o símbolo por sua semelhança com a primeira letra da palavra latina radix (raiz).

SÍMBOLO DE = (IGUALDADE): Tudo indica que o sinal de igualdade (=) foi introduzido por Robert Recorde (~1557), pois nada é moare equalle a paire de paralleles (nada é mais igual que um par de retas paralelas).

SÍMBOLOS DE > OU <: O inglês Thomas Harriot (1560-1621) foi o introdutor dos símbolos de > ou < para indicar maior ou menor, respectivamente. No entanto, os símbolos  ou  surgiram mais tarde, em 1734, com o francês Pierre Bouguer.

ALGARISMOS INDO-ARÁBICOS: A palavra algarismo oriunda-se provavelmente do nome de um dos maiores algebristas árabes: Al-Khowarismi. Este escreveu o livro que recebeu o título latino: De numero hindorum (sobre os números dos hindus).

Essa obra apresenta a morfologia de números muito próxima dos símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tais símbolos haviam sido criados pelos hindus, mas dado ao grande sucesso da obra em toda a Espanha, ficaram conhecidos como algarismos arábicos.

O monge e matemático francês Gerbert d´Aurillac tomou conhecimento dos algarismos indo-arábicos em Barcelona no ano de 980. No ano de 999, Gerbert foi eleito Papa (com nome de Silvestre II) e promoveu a divulgação de tais algarismos.

O zero aparece pela 1.ª vez num manuscrito muçulmano do ano de 873. Pecando por entusiasmo e exagero, um matemático afirmou: “o zero é a maior invenção da Matemática”. Ou seria o maior algoz do aluno!?

ALGARISMOS ROMANOS: Estes por sua vez tiveram influência dos etruscos. Pelos manuscritos da época, conclui-se que os algarismos romanos se consolidaram pelo ano 30 d.C.

O símbolo I (que representa o n.º 1) é uma das formas mais primitivas de se representar algo e tem origem incerta. Já o X (que representa o n.º 10) decorre da palavra latina decussatio, que significa cruzamento em forma de X. O número 100, identificado pela letra C em algarismo romano, provém da inicial latina centum (cem). O algarismo romano M decorre da palavra latina mille (que significa 1.000).

            Jacir J. Venturi, Coordenador da Universidade Positivo, é um dos Coordenadores da Olimpíada da Matemática no Paraná e foi professor da UFPR e PUCPR.